درس قانون الجاذبية وقوانين كبلر

مقدمة الدرس

الفكرة الرئيسة: قوانين كبلر تصف شكل مدارات الأجرام وخصائص حركتها، وكذلك سرعاتها وكتلها.
أهداف الدرس:
- حساب زمن دوران الجرم حول الشمس.
- حساب وزن جسم على كوكب آخر.
- حساب سرعة هروب القمر الصناعي.
الربط بالحياة: تُستخدم هذه القوانين في عدة مجالات:
- وضع الأقمار الصناعية في مداراتها، مثل أقمار البث المباشر وأقمار الملاحة (GPS).
- التنبؤ بالخسوف والكسوف.
- إعداد التقاويم ومواقيت العبادات.
مكتشفها: يوهانس كبلر في القرن السابع عشر، اعتماداً على أرصاد «تيخو براهي» لكوكب المريخ.

نص القانون: تدور الكواكب حول الشمس في مدارات على شكل قطع ناقص، وتقع الشمس في إحدى بؤرتيه.
خصائص القطع الناقص:
- المحور الأكبر = 2a، والمحور الأصغر = 2b.
- البؤرتان: F و F₁.
- الاختلاف المركزي (e): يصف مدى تفلطح القطع. كلما صغرت المسافة بين البؤرتين اقترب الشكل من الدائرة، وكلما كبرت زاد التفلطح. ويُحسب كالتالي:
  - e = CF / a
  - e = FF₁ / 2a
البعد الحضيضي (Perihelion): أقرب مسافة بين الكوكب والشمس: rₚ = a(1 − e).
البعد الأوجي (Aphelion): أبعد مسافة بين الكوكب والشمس: rₐ = a(1 + e).

نص القانون: الخط الوهمي الواصل بين الكوكب والشمس يقطع مساحات متساوية في أزمنة متساوية.
نتيجته: سرعة الكوكب تتناسب عكسياً مع بعده عن الشمس، فتكون أقصى سرعة له عند الحضيض وأدناها عند الأوج.

نص القانون: مربع زمن دورة الكوكب يتناسب مع مكعب نصف المحور الأكبر لمداره: T² ∝ a³.
الصيغة المستخدمة: إذا قيس T بالسنوات و a بالوحدة الفلكية (AU = 150 مليون كم) يصبح:
- T² = a³
- أي T = a√a
مثال 1: مذنب اختلافه المركزي 0.97، وبعده الحضيضي 0.45 AU:
- a = 0.45 / (1 − 0.97) = 15 AU
- T = 15√15 ≈ 58.1 سنة
إثراء – مشروع كبلر الفضائي: مرصد فضائي أطلقته ناسا، واكتشف أكثر من 2600 كوكب.

الصيغة: a³ = T²M، حيث:
- M بوحدة كتلة الشمس (تُقسم الكتلة على كتلة الشمس).
- a بالوحدة الفلكية (تُقسم المسافة على 15×10⁷ كم).
- T بالسنوات.
مثال 2: مركبة تدور حول الأرض على بعد 10 أنصاف أقطار أرضية:
- a = 4.25×10⁻⁴ AU
- M = 3×10⁻⁶ كتلة شمسية
- T = 5.1×10⁻³ سنة ≈ 1.84 يوم

الصيغة: m = M (a₂/a₁)³ (T₁/T₂)²
- a₁ و T₁: نصف المحور الأكبر لمدار الكوكب حول الشمس وزمن دورته.
- a₂ و T₂: نصف المحور الأكبر لمدار التابع حول الكوكب وزمن دورته.
مثال 3: إيجاد كتلة بلوتو من قمره كارون:
- المعطيات: كارون على بعد 19700 كم من بلوتو ويدور حوله في 6.4 يوم، وبلوتو يبعد 40 AU عن الشمس ويدور حولها في 248 سنة.
- الناتج: m ≈ 1.3×10²² kg

نص القانون: قوة الجاذبية بين جسمين تتناسب طردياً مع حاصل ضرب كتلتيهما، وعكسياً مع مربع المسافة بينهما: F = G·Mm/r².
جاذبية سطح الكوكب مقارنة بالأرض: g = (m/r²)·gₑ، حيث m كتلة الكوكب بدلالة كتلة الأرض، و r نصف قطره بدلالة نصف قطر الأرض.
وزن جسم على كوكب آخر: W = Wₑ·(g/gₑ).
مثال 4: كوكب كتلته 0.01 من كتلة الشمس (≈ 3333 ضعف كتلة الأرض):
- الكتاب يستنتج أن g = 3333gₑ.
- فيكون وزن رائد فضاء وزنه على الأرض 100 N هو 33.3×10⁴ N.
- ⚠️ ملاحظة: نص المثال يذكر أن نصف قطر الكوكب يساوي نصف قطر الأرض، لكن الحل أهمل ذلك. إذا طُبقت الصيغة كاملة تصبح g ≈ 13333gₑ، أي أربعة أضعاف ما في الحل. يُفضّل التأكد من المعلم أيهما المعتمد.

الصيغة العامة: V² = G(M + m)(2/r − 1/a).
إذا أُهملت كتلة الجرم الصغير: V² = GM(2/r − 1/a).
حول الشمس، بوحدات AU و km/s: V = 30√(2/r − 1/a).
مثال 5: أدنى سرعة لمذنب المثال 1 تكون عند الأوج:
- rₐ = 15(1 + 0.97) = 29.55 AU
- V = 30√(2/29.55 − 1/15) ≈ 0.94 km/s
إثراء – ابن الشاطر: عالم فلك مسلم استنتج مركزية الشمس، ويتضح تشابه بين نماذجه ونماذج كوبرنيكوس.

سرعة الهروب (Escape Velocity): السرعة اللازمة لكي يدخل جسم مساراً على شكل قطع مكافئ ويفلت من جاذبية الكوكب: Vₑₛ = √(2GM/R).
مثال 6: كوكب كتلته 7.5×10²² kg ونصف قطره 1.5×10⁶ m، فتكون سرعة الهروب منه ≈ 2.5 km/s.
رحلة مشروع أرتيميس للقمر:
- تنطلق المركبة من الأرض بسرعة إفلات 11 km/s.
- تدخل مداراً حول القمر.
- تعود إلى الأرض بسرعة إفلات 2.4 km/s.
نشاط عملي: تمثيل سرعة الهروب باستخدام مغناطيس وكرات حديد تتدحرج على ورق مقوى مائل.
الربط بالفيزياء: انطلاق الصواريخ تطبيق لقانون نيوتن الثالث: الغازات تندفع إلى الأسفل، فيندفع الصاروخ إلى الأعلى.